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50년 된 수학 문제를 풀기 위한 하이퍼그래프와 그 사용법

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1850년, 토마스 페닝턴 커크먼 그는 영국 국교회의 교구장(교구장, 가톨릭 교회의 직위)으로 일했습니다. 그는 또한 수학자였으며 여가 시간에는 과학 활동에 참여했습니다. 올해 Kirkman은 Schoolgirl이라는 퍼즐을 다음과 같이 디자인했습니다.

15명의 여학생을 7일 동안 세 그룹으로 나누어야 합니다. 이러한 그룹화는 매일 반복되어야 하며 어떤 소녀도 누군가와 한 번 이상 그룹화되어서는 안 됩니다.

오늘날의 수학자에게 이러한 유형의 문제는 상위 그래프 개념의 가장 좋은 예입니다. 즉, 3개 이상의 그룹으로 배치된 노드로 구성된 그래프입니다. Kirkman의 여학생 퍼즐에서 15명의 학생은 15개의 노드로 생각할 수 있고 3명의 각 그룹은 점을 연결하는 세 개의 모서리 또는 변이 있는 삼각형으로 생각할 수 있습니다.

Kirkman의 퍼즐은 기본적으로 두 개의 삼각형이 한 면을 공유하지 않는다는 추가적인 제약과 함께 이 소녀(점)의 15개 모두를 연결하는 세 개의 삼각형(삼각형) 그룹을 찾는 것이 가능한지 여부를 묻습니다. . 두 삼각형 사이의 공통면은 두 학생이 한 번 이상 함께 그룹화되었음을 의미합니다. 이 제한은 각 소녀가 일주일 동안 매일 두 명의 새로운 친구와 짝을 이루는 것을 의미합니다. 따라서 모든 소녀는 각 급우와 정확히 한 번 짝을 이룹니다.

이러한 퍼즐은 2세기 동안 수학자들을 사로잡았습니다. 즉 커크먼이 여고생의 미스터리를 제기했기 때문이다. 1973년, 전설적인 수학자 팔 에르도시 비슷한 의문을 제기했습니다. Ordosh는 두 가지 명백히 모순되고 양립할 수 없는 속성을 가진 일종의 하이퍼그래프를 만드는 것이 가능하다고 말했습니다.

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첫 번째 규칙은 각 노드 쌍이 정확히 하나의 삼각형으로 연결되어야 한다는 것입니다(예: 여학생 퍼즐). 이 속성으로 인해 하이퍼그래프에 많은 삼각형이 생깁니다. Ordosh가 퍼즐을 위해 설계한 두 번째 요구 사항은 하이퍼그래프에 삼각형이 균일하게 분포되도록 합니다. 보다 정확하게는, 이 조건은 삼각형의 각 부분 집합에 대해 삼각형 수보다 노드가 3개 이상 더 있어야 함을 나타냅니다. 데이비드 콘란캘리포니아 공과 대학의 수학자는 자신의 캠프의 신비에 대해 다음과 같이 말합니다.

이 퍼즐에서 완전히 반대되는 두 가지 행동을 볼 수 있습니다. 즉, 어떤 영역도 조밀하지 않은 복잡하고 조밀한 객체를 생성해야 합니다.

1월에 4명의 수학자들이 그러한 하이퍼그래프를 그리는 것이 항상 가능하다는 것을 보여주는 50페이지 분량의 복잡한 보고서를 발표했습니다. 물론 하이퍼그래프에 노드가 충분하다면. 앨런 로우버밍엄 대학의 수학자는 다음과 같이 말합니다.

이 퍼즐을 푸는 데 들어간 기술적 세부 사항의 양은 놀랍습니다. 내 생각에 그들의 작업은 정말 놀랍습니다.

연구팀은 무작위 프로세스를 사용하여 삼각형을 선택한 다음 엄격한 엔지니어링 방법을 사용하여 캠프 퍼즐의 끔찍한 요구 사항을 충족하기 위한 요구 사항을 추정하는 시스템을 설계했습니다. 켄론 말한다:

이 시스템에 적용된 수정의 수는 정말 놀랍습니다.

연구원들의 전략은 먼저 개별 삼각형에서 하이퍼그래프를 그리기 시작하는 것이었습니다. 예를 들어 Kirkman의 15명의 여학생을 생각해 보십시오. 두 사람 사이에 선을 긋습니다. 여기서 목표는 퍼즐의 두 가지 요구 사항을 충족하는 방식으로 삼각형을 그리는 것입니다. 첫째, 두 삼각형이 공통면을 가져야 하며(이 규칙을 따르는 시스템을 슈타이너 삼중 시스템이라고 함) 두 번째로 다음을 확인해야 합니다. 도면에서 삼각형의 각 하위 그룹은 더 많은 노드를 사용해야 합니다.

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아마도 이 퍼즐에 대한 해결책을 이해하는 가장 좋은 방법은 비유를 사용하는 것입니다. 삼각형을 그려서 레고 조각으로 집을 지어야 한다고 상상해보세요. 처음에는 레고 집을 더 크고 아름답게 만들기 위해 많은 조각을 사용할 수 있습니다. 이 집을 짓고 나면 구석에 두십시오. 이 집들은 나중에 일종의 매스 구조인 흡수체의 역할을 할 것입니다.

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이제 남은 레고 조각으로 더 간단한 집을 짓기 시작합니다. 레고 조각의 수가 점차 줄어들면 몇 개의 약한 집과 쓸모없는 조각이 남을 수 있습니다. 그러나 흡수성 주택에는 추가 부품이 있으므로 해당 부품을 사용하여 주택이 무너지지 않고 작업을 완료할 수 있습니다.

Steiner의 시스템에서는 레고 조각으로 집을 짓는 대신 삼각형을 그립니다. 여기에서 흡수기의 역할은 한 그룹의 측면에서 수행됩니다. 이 시스템을 삼각형으로 계속 변환하는 데 문제가 있으면 흡수면을 사용할 수 있습니다. 이렇게 하면 흡수 구조를 더 작은 삼각형으로 나눕니다.

매력 전략을 사용하는 것이 항상 효과가 있는 것은 아닙니다. 그러나 수학자들은 이 방법을 개선하여 장애물을 우회할 수 있었습니다. 예를 들어, 반복 흡수와 같은 강력한 변형을 사용하면 가장자리를 중첩된 범주 시퀀스로 분할할 수 있습니다. 이러한 방식으로 각 그룹은 다음으로 큰 그룹의 흡수자 역할을 합니다. 켄론 말한다:

지난 10년 동안 이 분야에서 많은 발전이 이루어졌습니다. 이 작품은 일종의 예술로 간주됩니다. 그러나 그들은 이 솔루션을 제공함으로써 걸작을 만들었습니다.

반복 흡수법을 사용해도 우르도쉬 퍼즐을 푸는 것은 어려웠다. 메타브 쏘니Massachusetts Institute의 수학자는 이 문제에 대해 다음과 같이 말합니다.

우리는 왜 이 미스터리가 지금까지 풀리지 않았는지 빨리 깨달았습니다. 퍼즐을 풀기 위해서는 흥미롭지만 복잡한 기술적 세부 사항을 적용해야 했습니다.

Sawhney는 그의 진영의 수수께끼를 풀었던 4명 중 한 명입니다. 이 팀의 다른 구성원은 다음과 같습니다. 애쉬윈 사 (수학자이자 매사추세츠 공과 대학 졸업생) 및 마이클 심킨 (하버드대학교 수리응용과학센터 박사후과정생) 및 매튜 코완 (오스트리아 과학 기술 연구소의 수학자).

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예를 들어, 반복 흡수 방법의 또 다른 적용은 슈타이너의 삼항 시스템(다른 시스템의 다른 구성요소)에서 일부 삼각형을 처리한 후 문제가 끝날 때까지 이러한 구조를 완전히 버리고 잊어버릴 수 있다는 것입니다. 그러나 Ordosh 퍼즐의 조건은 수학자들이 이것을 하지 못하도록 막는 것과 같습니다. 사실, Erdosh의 퍼즐에서 삼각형의 얽힌 클러스터는 여러 다른 흡수체의 여러 노드를 쉽게 포함할 수 있습니다. 이에 대해 Sawney는 다음과 같이 말합니다.

문제 해결 과정에서 앞서 500단계에서 다루었던 삼각형을 어떻게든 기억하고 다시 생각해야 합니다.

이 네 명의 수학자들은 첫 번째 단계에서 삼각형을 충분히 신중하게 선택하면 문제 해결 과정의 모든 단계를 외울 필요가 없을 것이라고 생각했습니다. Sawney는 다음과 같이 말합니다.

가장 좋은 방법은 100개의 삼각형 그룹을 선택하고 이러한 삼각형 그룹이 가능한 최상의 확률로 선택되고 변경할 필요가 없는지 확인하는 것입니다.

이 연구 보고서의 저자는 그들의 혁신적인 방법이 다른 문제도 해결하는 데 사용되기를 희망합니다. 현재 이 연구원들은 스도쿠 퍼즐의 단순화된 버전인 라틴 제곱 문제를 연구하고 있습니다. Cowan은 미래에 동화 방법을 사용하여 더 많은 퍼즐을 풀 수 있다고 믿습니다. 그는 말한다:

구성 분야, 특히 디자인 이론 분야에는 다양한 문제가 있으며 무작위 프로세스는 이를 해결하는 강력한 도구로 간주됩니다.

이러한 문제 중 하나는 라이저 추정이며 1960년대 이후로 솔루션이 발견되지 않았습니다. 마야 스타인, 칠레 대학의 수학 모델링 센터 부사장은 흡수 방법이 도입된 이후로 큰 발전을 이루었다고 믿습니다. 그러나 다음 퍼즐을 풀기 위해 약간의 수정이 필요할 수 있습니다. “이 모델이 어떻게 발전했는지 보는 것은 정말 놀랍습니다.”라고 그는 덧붙입니다.

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